【数学】二元一次方程组
一次方程组：二元与三元方程组的解法与应用
1.1 二元一次方程
概念引入
考虑这样一个问题：已知两个数的和是7，求这两个数。
这个问题涉及两个未知数。设一个数为x，另一个数为y，根据题意可列出方程：
[ x + y = 7 ]
定义
二元一次方程：含有两个未知数，且含有未知数的项的次数都是1的方程。
方程的解
当x = 3，y = 4时，方程x + y = 7左右两边的值相等，我们说x = 3，y = 4是适用于（或满足）方程x + y = 7的。
二元一次方程的解：能够适合于一个二元一次方程的一对未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。
例如：{x = 3, y = 4}就是方程x + y = 7的一个解。
解集：由二元一次方程的所有解构成的集合，叫做二元一次方程的解集。
1.2 二元一次方程组
问题引入
甲乙两数的和是7，甲数比乙数大3，求甲乙两数。
设甲数为x，乙数为y，可列出方程组：
[
\begin{cases}
x + y = 7 & (1) \
x - y = 3 & (2)
\end{cases}
]
方程组的解
二元一次方程组的解：既适合第一个方程，又适合第二个方程的x和y的值，也就是这两个方程的公共解。
1.3 用代入法解二元一次方程组
方法原理
将方程组中的一个方程变形，用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数，然后代入另一个方程中，这样就消去了一个未知数，使解二元一次方程组转换为解一元一次方程。
方法名称
这种解方程组的方法叫做代入消元法，简称代入法。
1.4 用加减法解二元一次方程组
示例
解方程组：
[
\begin{cases}
x + y = 5 & (1) \
2x - y = 4 & (2)
\end{cases}
]
解法步骤
- 观察发现未知数y的系数互为相反数
- 将两个方程相加消去y：
[ (1) + (2) \Rightarrow 3x = 9 \quad (3) ] - 解得x = 3
- 将x = 3代入(1)得y = 2
- 检验：{x = 3, y = 2}是原方程组的解
方法定义
加减消元法：把方程中的一个方程或两个方程的两边分别乘以一个适当的数，使其中某一个未知数的系数的绝对值相等，然后通过把方程两边分别相加或相减，消去这个未知数。
简称加减法。
1.5 三元一次方程组的解法
1.6 一次方程组的应用题
小结
一、主要内容
- 二元一次方程组的解法和应用
- 三元一次方程组的解法案例
二、解题思想
解一次方程组可以通过逐步"消元"，变"多元"为"一元"：
[ \text{三元一次方程组} \xrightarrow{\text{消元}} \text{二元一次方程组} \xrightarrow{\text{消元}} \text{一元一次方程} ]
从而实现由"未知"到"知"的转化。
三、消元方法比较
1. 代入法
把其中一个方程的某一个未知数用含另一个未知数的代数式表示，然后代入到另一个方程中去，消去这个未知数。
2. 加减法
先使两个方程中的某一个未知数的系数的绝对值相等，然后把方程的两边分别相加或相减，消去这个未知数。
3. 方法选择
- 代入法：当某个未知数的系数为1时比较简便
- 加减法：当两个方程中有一个未知数的系数的绝对值相等或成整数倍时比较简便
对于多元的一次方程组也可以用以上方法逐步消元。
四、应用问题解决
对于含有多个未知量的问题，利用方程组来解比用一元一次方程更容易列出方程。列方程时，选定几个未知数，就要根据问题中的等量关系列出几个方程。解由这些方程所组成的方程组，即可得出问题的答案。